Ce corpus, [Point d'entrée] de [Mathématiques pour l'informatique], présente plusieurs outils mathématiques pour l'informatique
d'un niveau licence (il s'appuie sur les prérequis mathématiques du lycée).
Les concepts sont illustrés autant que possible par des applications
dans le domaine informatique par l'emploi
du langage de programmation Python. Les corpus sont conçus de
manière indépendante pour être utilisables dans des contextes variés,
en particulier pour permettre d'apprendre ou de revoir et approfondir
des notions essentielles à différents
cours de licence et de master.
Chaque corpus est organisé en séances de (a) Apprendre et Comprendre le cours, (b) Exercices, (c) Évaluations et termine par (d) une Évaluation finale. Chacune des parties comprend :
- Une partie [Notions de base] pour s'auto-former, réviser et vous remettre à niveau pour suivre ensuite un cours de niveau supérieur.
- Éventuellement une partie [Pour aller plus loin] qui concerne principalement ceux qui veulent approfondir les notions.
- Contact: Karine Zampieri
De tout temps les penseurs ont cherchés à s'assurer que leurs raisonnements, quel qu'en soit le sujet, ne comportaient pas de faille qui les fassent aboutir à un résultat inexact. Le besoin s'est rapidement fait sentir d'outils fiables sur lesquels la pensée puisse s'appuyer pour manipuler des concepts et enchaîner des déductions. Ce corpus aborde la logique et le raisonnement à savoir : le calcul propositionnel et ses applications, le calcul des prédicats, les règles de déduction, les méthodes de preuves ainsi que les stratégies de preuve.
La théorie des ensembles doit beaucoup au mathématicien Georg Cantor qui l'a introduite dans les années 1880. C'est d'ailleurs une version de sa définition d'un ensemble que nous donnerons. Depuis, de nombreuses controverses ont vu le jour (notamment sur l'existence d'ensembles infinis) mais cette branche des mathématique reste essentielle pour ses applications en informatique. Aussi ce corpus aborde les Ensembles, Applications à savoir : la théorie des ensembles, l'algèbre ensembliste, les applications et le cas particulier des fonctions enfin la cardinalité et dénombrabilité des ensembles.
Les définitions inductives et les définitions par récurrence consistent à construire des objets finis à partir d'autres selon certaines règles. Les définitions inductives permettent également d'appréhender les objets infinis définis par des définitions récursives. Comme l'informatique manipule précisément des objets de ce type, que les définitions récursives interviennent dans les structures de données de même que dans la conception de programmes récursifs, ce corpus est essentiel. Les preuves de tels programmes se font alors par récurrence. Ainsi ce corpus aborde Récurrence et Induction à savoir : les deux principes de récurrence (faible et forte), la notion de définitions récursives et induction structurelle puis termine par les opérations de construction issues de la définition inductive dites règles d'inférence.
La théorie des nombres est la branche des mathématiques qui s'intéresse
aux propriétés des nombres entiers, notamment des nombres premiers. Le
terme arithmétique est aussi utilisé pour faire référence à la théorie
des nombres. Citons Carl Friedrich Gauss : "La Mathématique est la reine
des sciences et l'Arithmétique est la reine des mathématiques". Cette
phrase rappelle l'importance historique de cette branche fondamentale
des mathématiques. Aussi ce corpus aborde : la divisibilité et l'arithmétique modulaire, la représentation des nombres entiers, le PGCD, PPCM et les nombres premiers, les systèmes de congruences et ses applications et termine par un complément relatif à la cryptographie.
Les relations mettent en forme l'idée courante, mais plutôt vague, que des objets peuvent être reliés entre eux : lien de parenté, particularité commune, relation de domination... Ce corpus donne un sens précis au concept de relation en utilisant la notion de sous-ensemble du produit cartésien des ensembles. Le premier module aborde les relations binaires (relations entre deux ensembles) et étudie les cas particuliers des relations d'équivalence, de pré-ordre et d'ordre. Le deuxième module explore les applications des relations en informatique dont les graphes, les relations n-aires et les bases de données ainsi qu'en sémantique ((langages).
Ce corpus aborde le codage de source. On appelle ainsi l'opération qui traduit les symboles d'une source en des symboles utilisables par une machine à des fins de transmission ou de stockage. Le premier module aborde les notions de mots (suite de symboles), distance de Hamming, langages rationnels et expressions régulières. Le deuxième module s'attarde au codage détecteur et correcteur d'erreur.