Topic outline

  • General

  • Pour bien commencer

    La théorie des nombres est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux propriétés des nombres entiers, notamment des nombres premiers. Le terme arithmétique est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. Citons Carl Friedrich Gauss : "La Mathématique est la reine des sciences et l'Arithmétique est la reine des mathématiques". Cette phrase rappelle l'importance historique de cette branche fondamentale des mathématiques.

    Après avoir fait le point sur la divisibilité et l'arithmétique modulaire (définitions, propriétés,  méthodes de calcul), nous étudions la représentation des entiers (dont les conversions entre les différentes bases utiles en informatique) puis mettons en avant l'importance des nombres premiers avec le théorème fondamental de l'arithmétique : ce théorème affirme que tout entier positif peut être écrit uniquement comme le produit de nombres premiers en ordre non décroissant. Ensuite nous étudions les systèmes de congruence ainsi que leurs applications. Enfin nous terminons — Complément — par une introduction à la cryptographie.

    Vous y trouverez des activités :

    Apprendre comprenant un module de [Cours] lequel comprend :

    • Une partie [Notions de base].
    • Éventuellement une partie [Pour aller plus loin] qui concerne principalement ceux qui veulent approfondir les notions.

    S'exercer comprenant :

    • Éventuellement le module [Comprendre le cours avec solutions] permettant d'appliquer les notions de [Cours] avec des exercices auto-évaluées et des exercices détaillés.
    • Les modules [Exercices] et [Exercices avec solutions]. Le lecteur ne doit pas hésiter à consacrer du temps à un travail personnel de recherche en s'appuyant sur le cours et les aides successives proposées dans les exercices. Il doit ensuite rédiger avec soin ses travaux et les comparer avec les solutions proposées.

    S'évaluer comprenant des exercices d'auto-évaluation permettant de vous évaluer et de vous positionner dans votre apprentissage : [N12] concernant la partie [Notions de base] avec des exercices taggés de niveau 1 et 2 ainsi qu'éventuellement [N34] concernant la partie [Pour aller plus loin] et/ou des exercices de niveau 3 et 4 de la partie [Notions de base].
    • Le système tire au hasard un certain nombre de questions.
    • La note minimale de validation (sur 10) est indiquée pour chaque test.

    Évaluation finale termine le module. Attention! vous n'avez droit qu'à une seule tentative.

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  • S1 - Divisibilité et Arithmétique modulaire (6h - 8h)

    Objectifs : Connaître les conditions qui définissent la division euclidienne, Utiliser efficacement la division euclidienne pour prouver des propriétés, Comprendre la définition de la congruence, Être à l'aise avec l'arithmétique modulaire
    Text and media areas: 3 URLs: 4 Quiz: 1

  • S2 - Représentation des nombres entiers (4h)

    Objectifs : Voir ou revoir les conversions d'entiers utiles en informatique, Être capable de convertir l'écriture d'un nombre d'une base vers une autre, Voir ou revoir les algorithmes pour les opérations entières
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  • S3 - PGCD, PPCM et Nombres premiers (8h - 10h)

    Objectifs : Voir ou revoir les notions de PGCD et PPCM, Savoir calculer un PGCD à l'aide de l'algorithme d'Euclide, Comprendre ce que sont les nombres premiers entre eux, Savoir calculer les coefficients de Bézout par remontée de l'algorithme d'Euclide, Percevoir l'importance des nombres premiers, Connaître le lemme d'Euclide, Appliquer le théorème fondamental de l'arithmétique
    Text and media areas: 3 URLs: 4 Quiz: 1

  • S4 - Résolution des congruences (6h - 8h)

    Objectifs : Calculer le groupe des éléments inversibles dans Z/mZ, Résoudre des congruences linéaires, Appliquer le théorème des restes chinois, Connaître quelques tests de primalité dont le petit théorème de Fermat
    Pour aller plus loin : Fournir les éléments d'algèbre abstraite
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  • S5 - Applications des congruences (4h)

    Objectifs : Comprendre les fonctions de hachage, Connaître la méthode congruentielle linéaire, Calculer un chiffre de contrôle
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  • S6 - Compléments : Cryptographie (2h)

    Objectifs : Connaître les éléments d'un système cryptographique, Distinguer la cryptographie symétrique de la cryptographie asymétrique, Comprendre les chiffrements par substitution, Comprendre le cryptosystème RSA

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  • Évaluation finale "Théorie des nombres" et crédits

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