Operations Research (UGA)

Pompe-turbine

Le fonctionnement d'une pompe-turbine est caractérisé par la puissance de fonctionnement. Par convention, la puissance est positive si la machine est en mode turbine (puissance fournie), négative si elle est en mode pompe (puissance consommée). En mode turbine, une machine peut fonctionner sur une gamme de puissance comprise entre $P_{min}^T$ et $P_{max}^T$ ($0< P_{min}^T \leq P_{max}^T$). De même en mode pompe, la gamme de puissance de fonctionnement possible est comprise entre $P_{max}^P$ et $P_{min}^P$ ($P_{max}^P \leq P_{min}^T < 0$). Une machine possède donc trois états possibles: soit elle est en mode pompe, soit elle est en mode turbine, soit est elle est à l'arrêt. Son fonctionnement est donc décrit par la puissance:

$P \in [P_{max}^P, P_{min}^P] \cup \{0\} \cup [P_{min}^T, P_{max}^T]$

La puissance de fonctionnement d'une pompe-turbine ne peut pas être changée au cours d'une heure afin de ne pas abimer excessivement les pâles de la machine.

Réservoirs

Dans toute la suite, nous supposerons que les deux réservoirs sont des pavés droits identiques de dimension $L \times l \times H$ supposés sans fuite. Notez que toutes les pompes-turbines sont reliés aux mêmes deux réservoirs. Pour ne pas causer d'inondation, le réservoir supérieur et  le réservoir inférieur ne doivent jamais déborder. Sous cette contrainte, on peut remarquer que la répartition de l'eau dans les réservoirs est entièrement décrite par la hauteur de chute:

$h=h_{sup} − h_{inf} + \Delta H$

Le débit d'eau mis en mouvement par une pompe-turbine est liée à la puissance par les équations dites de fonctionnement suivantes :

• $P = \alpha_P Q$ en mode pompe
• $P = \alpha_T Q$ en mode turbine
• $P =Q=0$ à l'arrêt

où $P$ est la puissance en MW et $Q$ le débit d'eau en $m^3.s^{−1}$. Les constantes $\alpha_T, \alpha_P \in \mathbb{R}^+$ sont liées à l'efficacité de la machine (rendement) et à des constantes physiques. La convention de signe sur les puissances impose que le débit d'eau est positif si l'eau descend, négatif si elle monte.

Questions pour vous aider 
(a) Calculer la variation de la hauteur de chute entre l'heure $t$ et $t + 1$ sachant que la pompe-turbine fonctionne à la puissance $P$ .
(b) Écrire cette équation en fonction des variables précédemment définies dans le modèle.

Coût de changement de mode de fonctionnement

Changer le mode de fonctionnement d'une pompe-turbine nécessite une manipulation ayant un certain coût dépendant du mode de fonctionnement initial et final. On notera $c_{AT}$ et $c_{AP}$ le coût induit par le passage du mode arrêt $A$ au mode turbine $T$ et pompe $P$. On définit de la même façon $c_{TA}$ et $c_{PA}$ les coûts induis par le processus inverse. Une machine peut passer directement du mode pompe au mode turbine, mais doit nécessairement être arrêtée lorsqu'on passe d'un mode à l'autre. Bien que ces changements soit complexes (réamorçage), nous supposerons qu'ils sont instantanés.